Question

【题目】如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

A. 1 B. 2 C. 2﹣2 D. 4﹣2

Answer 1

【答案】C

【解析】

先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可.

解：如图，连接PF，QF，PC，QC

∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，

∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，

∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，

∴∠PFC=∠QFC=30°，

同理，∠PCF=∠QCF

∴PQ⊥CF，

∴△PQF是等边三角形，

∴PQ=2PG；

易得△ACF≌△ECF，且内角是30，60，90的三角形，

∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，

∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，

过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，

∵点P是△ACF的内心，

∴PM=PN=PG，

∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF

=AF×PM+AC×PN+CF×PG

=×2×PG+×2×PG+×4×PG

=（1++2）PG

=（3+）PG

=2，

∴PG==，

∴PQ=2PG=2()=2-2.

故选C.