Question

【题目】如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P．

（1）当∠A=40°,∠ABC=60°时，求∠BPC的度数；

（2）当∠A=α°时，求∠BPC的度数．（用α的代数式表示）

（3）小明研究时发现：如果延长AB至D，再过点B作BQ⊥BP,那么BQ就是∠CBD的平分线。请你证明小明的结论.

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）；（3）证明见详解.

【解析】

（1）由三角形内角和定理，得到∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线性质，得到∠2+∠4=70°，即可得到∠BPC；

（2）与（1）相同，由三角形内角和定理，得到∠ABC+∠ACB=180°-α°，由角平分线定理，得到∠2+∠4=，即可得到∠BPC；

（3）延长AB至D，过点B作BQ⊥BP，可得∠2+∠CBQ=90°，则有∠1+∠DBQ=90°，

由∠1=∠2，则∠CBQ=∠DBQ，即可得到结论成立.

解：（1）在△ABC中，∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=180°40°=140°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠2=，∠4=，

∴∠2+∠4=70°，

∴∠BPC=180°；

（2）在△ABC中，∠A=，

∴∠ABC+∠ACB=180°°，

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠2=，∠4=，

∴∠2+∠4=，

∴∠BPC=180°；

（3）如图，延长AB至D，过点B作BQ⊥BP，

∵BQ⊥BP,

∴∠2+∠CBQ=90°，

∴∠1+∠DBQ=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠CBQ=∠DBQ，

∴BQ平分∠CBD.