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【题目】如图,在平面直角坐标系中,长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上.点B的坐标为(8,4),将该长方形沿OB翻折,点A的对应点为点D,ODBC交于点E.

(I)证明:EO=EB;

(Ⅱ)点P是直线OB上的任意一点,且OPC是等腰三角形,求满足条件的点P的坐标;

(Ⅲ)点MOB上任意一点,点NOA上任意一点,若存在这样的点M、N,使得AM+MN最小,请直接写出这个最小值.

【答案】(I)证明见解析;()P的坐标为(4,2)或()或P(﹣,﹣)或();(

【解析】分析:(Ⅰ)由折叠得到∠DOB=∠AOB,再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB,即∠OBC=∠DOB,即可;

(Ⅱ)设出点P坐标,分三种情况讨论计算即可;

(Ⅲ)根据题意判断出过点DOA的垂线交OBM,OAN,求出DN即可.

详解:(Ⅰ)∵将该长方形沿OB翻折,点A的对应点为点D,ODBC交于点E,

∴∠DOB=∠AOB,

∵BC∥OA,

∴∠OBC=∠AOB,

∴∠OBC=∠DOB,

∴EO=EB;

(Ⅱ)∵点B的坐标为(8,4),

∴直线OB解析式为y=x,

∵点P是直线OB上的任意一点,

∴设P(a,a).

∵O(0,0),C(0,4),

∴OC=4,PO2=a2+(a)2=a2,PC2=a2+(4-a)2

当△OPC是等腰三角形时,可分三种情况进行讨论:

①如果PO=PC,那么PO2=PC2

a2=a2+(4-a)2,解得a=4,即P(4,2);

②如果PO=OC,那么PO2=OC2

a2=16,解得a=±,即P()或P(-,-);

③如果PC=OC时,那么PC2=OC2

a2+(4-a)2=16,解得a=0(舍),或a=,即P();

故满足条件的点P的坐标为(4,2)或()或P(-,-)或();

(Ⅲ)如图,过点DOA的垂线交OBM,交OAN,

此时的M,NAM+MN的最小值的位置,求出DN就是AM+MN的最小值.

由(1)有,EO=EB,

∵长方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(8,4),

OE=x,则DE=8-x,

Rt△BDE中,BD=4,根据勾股定理得,DB2+DE2=BE2

∴16+(8-x)2=x2

∴x=5,

∴BE=5,

∴CE=3,

∴DE=3,BE=5,BD=4,

∵SBDE=DE×BD=BE×DG,

∴DG=

由题意有,GN=OC=4,

∴DN=DG+GN=+4=

即:AM+MN的最小值为

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组别

正确字数x

人数

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15

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25

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