Question

如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O（A不与O重合），连接AO，如果AB=6，AO=4

2

，那么AC的长等于

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：在AC上截取CF=AB，根据正方形的性质可得OB=OC，∠BOC=90°，根据对顶角相等可得∠1=∠2，再根据等角的余角相等求出∠ABO=∠FCO，然后利用“边角边”证明△ABO和△FCO全等，根据全等三角形对应边相等可得AO=FO，全等三角形对应角相等可得∠AOB=∠FOC，再求出∠AOF=∠BOC=90°，然后判断出△AOF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍求出AF，再根据AC=AF+CF计算即可得解．

解答：解：如图，在AC上截取CF=AB，
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠ABO=∠FCO，
在△ABO和△FCO中，

OB=OC ∠ABO=∠FCO CF=AB

，
∴△ABO≌△FCO（SAS），
∴AO=FO，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∵AO=4

2

，
∴AF=

2

×4

2

=8，
∴AC=AF+CF=8+4=12．
故答案为：12．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．