Question

【题目】如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B顺时针旋转．

（1）当点D在BC上时，求CD的长；

（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积

（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）2﹣2；（2）1；（3）AG的最小值为﹣1，AG的最大值为+1

【解析】

（1）如图1中，根据CD＝BC﹣BD，只要求出BC即可解决问题；

（2）分两种情形分别求解，由三角形的面积公式可解决问题；

（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．由CG＝GD，CH＝HB，推出HG＝BD＝1，可得点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，根据点与圆的位置关系即可解决问题；

解：（1）如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，

∴BC＝AC÷tan30°＝2，

∵BD＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝2﹣2．

（2）如图2中，当A、D、E共线时，易证四边形ACBD是矩形，

∴S△CDE＝×DE×CA＝×2×2＝2．

如图3中，当A、E、D共线时，作CH⊥AD于H．

在Rt△ADB中，∵AB＝2BD，

∴∠BAD＝30°，

∵∠CAB＝60°，

∴∠CAH＝30°，

∴CH＝AC＝1，

∴S△CDE＝×DE×CH＝×2×1＝1．

（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．

∵CG＝GD，CH＝HB，

∴HG＝BD＝1，

∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，

在Rt△ACH中，AH＝＝＝，

∴AG的最小值＝AH﹣GH＝﹣1，

AG的最大值＝AH+GH＝+1