Question

如图，分别以Rt△ABC的斜两条直角边为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE， AD与BE交于点H，∠ACB=90°。

（1）求证：AD=BE；

（2）求∠AHE的度数；

（3）若∠BAC=30°，BC=1，求DE的长

Answer 1

（1）∵△BCD和△ACE是等边三角形，

∴∠BCD=∠ACE=60°，BC=DC，AC=CE。

∴∠ACD=∠ECB。

∴△ACD≌△ECB（SAS）。

∴AD=BE。

【考点】等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）由SAS证明△ACD≌△ECB即可。

（2）由（1）得∠DAC=∠BEC，可判定点A、H、C、E在同一圆上，根据圆周角定理即可求得结果。

（3）首先由含30度角的直角三角形的性质求出AB和AC的长，再判定△ABE是直角三角形，由勾股定理得到BE的长，最后由△BCE≌△DCE得出结果。