Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；

（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．

【解析】

（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．

（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4

∴C（0，4）

当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4

∴B（4，0）

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点

∴ 解得：

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4

（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°

∴OB＝OC

∴∠OBC＝∠OCB＝45°

∵ME⊥x轴于点E，PB＝t

∴∠BEP＝90°

∴Rt△BEP中，

∴，

∴

∵点M在抛物线上

∴，

∴ ，

∵PN⊥y轴于点N

∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°

∴四边形ONPE是矩形

∴ON＝PE＝t

∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t

∵MP∥CN

∴△MPQ∽△NCQ

∴

∴

解得：（点P不与点C重合，故舍去）

∴t的值为

（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE

∴∠BPE＝∠PBE＝45°

∴∠MPD＝∠BPE＝45°

①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°

∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾

②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°

∵∠AEM＝90°

∴AE＝ME

∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4

∴A（﹣1，0）

∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t

∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t

∴5﹣t＝﹣t2+5t

解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM

如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G

∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF

∴CF＝CD

∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m

∴ 解得： ，

∴直线AM：

∴F（0，t）

∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t

∵tx+t＝﹣x+4，解得：，

∴，

∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°

∴，

∴

解得：

综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．