【题目】如图所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点;
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由见解析
【解析】
(1)先说明∠AFE=∠DCE,再证明△AEF和△DEC全等,最后根据全等三角形的性质和等量关系即可证明;
(2)由(1)可得AF平行且等于BD,即四边形AFBD是平行四边形;再利用等腰三角形三线合一,可得AD⊥BC,即∠ADB=90°,即可证明四边形AFBD是矩形.
(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵点E为AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,
,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴CD=BD,
∴D是BC的中点;
(2)解:若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下:
∵△AEF≌△DEC,
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴CD=BD;
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠ADB=90°,
∴平行四边形AFBD是矩形.
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【题目】如图,在中,,于点,,为了研究图中线段之间的关系,设,,
(1)可通过证明,得到关于的函数表达式__________,其中自变量的取值范围是___________;
(2)根据图中给出的(1)中函数图象上的点,画出该函数的图象;
(3)借助函数图象,回答下列问题:①的最小值是__________;②已知当时,的形状与大小唯一确定,借助函数图象给出的一个估计值(精确到0.1)或者借助计算给出的精确值.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;
(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,8),点B(m,0),且m>0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°,得△ACD,点O,B旋转后的对应点为C,D,
(1)点C的坐标为 ;
(2)①设△BCD的面积为S,用含m的式子表示S,并写出m的取值范围;
②当S=6时,求点B的坐标(直接写出结果即可).
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【题目】如图,利用热气球探测器测量大楼AB的高度.从热气球P处测得大楼顶部B的俯角为37°,大楼底部A的俯角为60°,此时热气球P离地面的高度为120m.试求大楼AB的高度(精确到0.1m).(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.73)
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【题目】已知在平面直角坐标系内,的三个顶点的分别为,,(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)在网格内画出向下平移2个单位长度得到的,点的坐标是________;
(2)以点为位似中心,在网格内画出,使与位似,且位似比为,点的坐标是________;
(3)的面积是________平方单位.
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【题目】近年来佳木斯市旅游事业发展迅速,“大亮子河森林公园”“富锦国家湿地公园”“赫哲民族文化村”“大来岗达勒花海”等景区愈来愈为人们所知晓 . 在一次调查中,根据市民对这四个景区的了解情况,按答题分数分为. 比较熟悉; . 基本了解; . 略有知晓; . 知之甚少,四类进行统计,绘制了以下两幅统计图(不完整),请根据图中信息解答以下各题:
(1)本次调查活动的样本容量是 ;
(2)补全条形统计图;
(3)“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是多少度? “知之甚少”类市民占被调查人数的百分比是多少?
(4)已知某小区有 5000 人,那么估计对这些景区“比较熟悉”的有多少人?
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