Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①方程ax²+bx+c=0的两根之和大于0；②abc＜0；③y随x的增大而增大；
④a-b+c＜0；⑤a+b＜0． 其中正确的是

 

．（填序号）

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得到ab＜0，则b＞0，再根据根与系数的关系得到ax²+bx+c=0的两根之和等于-

b

a

，于是可判断方程ax²+bx+c=0的两根之和大于0；由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可判断abc＜0；根据二次函数的性质得到当x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在原点和（-1，0）之间，则当x=-1时，y＜0，即可得到a-b+c＜0；由于x=1时，y＜0，所以a+b+c＜0，利用c＞0，即可得到a+b＜0．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
∴b＞0，
而ax²+bx+c=0的两根之和等于-

b

a

，
∴方程ax²+bx+c=0的两根之和大于0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

，
∴当x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在原点和（-1，0）之间，
∴当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，所以④正确；
∵x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，
而c＞0，
∴a+b＜0，所以⑤正确．
故答案为①②④⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．