Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是AB边的中点．
（1）如图1，若P，Q分别在边BC和CA上，且BP=CQ．通过观察或测量，猜想△MPQ的形状，并给予证明；
（2）如图2，若P，Q分别在BC和CA的延长线上，且BP=CQ，△MPQ的形状与（1）中相比，是否会有变化？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）连接CM，易证△CMQ≌△BMP，可得∠BMP=∠CMQ，QM=PM，根据∠CMP+∠BMP=90°即可求得△MPQ是等腰直角三角形，即可解题；
（2）连接CM，易证△AQM≌△CPM，可得QM=PM，∠QMA=∠PMC，根据∠PMC+∠PMA=90°即可求得△MPQ是等腰直角三角形，即可解题．

解答：证明：

（1）连接CM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M是AB边的中点，
∴CM=BM，∠ACM=∠B=45°，CM⊥AB，
∵在△CMQ和△BMP中，

BP=CQ ∠ACM=∠B CM=BM

，
∴△CMQ≌△BMP，（SAS）
∴∠BMP=∠CMQ，QM=PM，
∵∠CMP+∠BMP=90°，
∴∠CMQ+∠CMP=90°，即∠QMP=90°；
∴△MPQ是等腰直角三角形；
（2）连接CM，
∵∠ACB=90°，AC=BC，M是AB边的中点，
∴CM=AM，∠ACM=∠CAM=45°，CM⊥AB，
∴∠PCM=45°+90°=135°，
∠QAM=180°-45°=135°，
∵在△AQM和△CPM中，

QA=PC ∠QAM=∠PCM CM=AM

，
∴△AQM≌△CPM，（SAS）
∴QM=PM，∠QMA=∠PMC，
∵∠PMC+∠PMA=90°，
∴∠QMA+∠PMA=90°，
∴△MPQ是等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△CMQ≌△BMP和△AQM≌△CPM是解题的关键．