Question

如图，圆的半径是5

2

，A、C两点在圆上，点B在圆内，AB=6，BC=2，∠ABC=90°，求点B到圆心的距离．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：计算题

分析：延长AB、CB分别交⊙O于E、D，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OB、OA、OD，如图，设OM=a，ON=b，先证明四边形OMBN为矩形得到OM=BN=a，ON=BM=b，再根据垂径定理，由ON⊥CD得到DN=CN=a+2，在△AOM中利用勾股定理得（6-b）²+a²=（5

2

）²①，在Rt△OND中根据勾股定理得（a+2）²+b²=（5

2

）²②，然后解由①②所组成的方程组得到当b=1时，a=5，最后在Rt△OBM中根据勾股定理计算OB．

解答：解：延长AB、CB分别交⊙O于E、D，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连结OB、OA、OD，如图，设OM=a，ON=b，
∵∠ABC=90°
∴四边形OMBN为矩形，
∴OM=BN=a，ON=BM=b，
∵ON⊥CD，
∴DN=CN=BN+BC=a+2，
在△AOM中，∵AM=AB-BM=6-b，OM=a，OA=5

2

，
∴（6-b）²+a²=（5

2

）²①，
在Rt△OND中，∵ON²+DN²=OD²，
∴（a+2）²+b²=（5

2

）²②，
由①-②得a=8-3b③，
把③代入①得（6-b）²+（8-3b）²=（5

2

）²，
整理得b²-6b+5=0，解得b₁=5，b₂=1，
当b=5时，a=-7（舍去）；当b=1时，a=5，
在Rt△OBM中，∵BM=1，OM=5，
∴OB=

OM2+BM2

=

26

，
即点B到圆心的距离为

26

．

点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．