【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(﹣1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接BC,若点P为线段BC上的一个动点(不与点B、点C重合),过点P作直线PN⊥x轴于点N,交抛物线于点M,当△BCM面积最大时,求△BPN的周长.
(3)在(2)的条件下,当△BCM面积最大时,在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△CNQ为等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3 (2) (3)见解析
【解析】
(1)将A、B点坐标代入到解析式中求解即可;
(2)求得直线BC的解析式,然后求出△BCM的表达式,是一个二次函数,求出其取最大值的条件;然后利用勾股定理求出△BPN的周长;
(3)C、N坐标已知设点Q坐标为(1,a),根据两点之间的距离公式表示出CQ、QN、CN然后分三种情况:①CQ=QN;②CQ=CN;③QN=CN进行列式解答.
解:(1)将点A(﹣1,0)、B(3,0)坐标代入解析式中得:,解得
,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,
则有:,解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3.
设P(x,﹣x+3),则M(x,﹣x2+2x+3),
∴PM=(﹣x2+2x+3)﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x.
∴
,
∴
∴当时,△BCM的面积最大.
此时,
∴PN=ON=,
∴,
在Rt△BPN中,由勾股定理得:,
,
∴当△BCM的面积最大时,△BPN的周长为;
(3)由(2)知P点坐标为,∴
,
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴抛物线的对称轴为x=1,
设Q(1,a),∵C(0,3),,
∴,
(两点之间距离公式),
若△CNQ为等腰三角形,可分三种情况:
①当CQ=QN时,,解得:
,
∴点Q的坐标为,
②当CQ=CN时,,解得:
,
∴点Q的坐标为,
,
③当QN=CN时,,解得:
,
∴点Q的坐标为,
,
综合以上可得点Q的坐标为或
或
或
或
.
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【题目】如图,在半圆⊙O中,直径AB=4,点C、D是半圆上两点,且∠BOC=84°,∠BOD=36°,P为直径上一点,则PC+PD的最小值为( )
A.4B.2C.2
D.2
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为24厘米,∠A=60°,点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动,点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动.
(1)求BD的长;
(2)已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒,5厘米/秒,经过12秒后,P、Q分别到达M、N两点,若按角的大小进行分类,请你确定△AMN是哪一类三角形,并说明理由;
(3)设(2)中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回,点P的速度不变,点Q的速度改变为a厘米/秒,经过3秒后,P、Q分别到达E、F两点,若△BEF与(2)中的△AMN相似,试求a的值.
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【题目】如图所示的正方形网格,△ABC的顶点在网格上,在建立平面直角坐标系后,点B的坐标是(-1,-1)
(1)把△ABC向左平移10格得到,画出
;
(2)画出关于x轴对称的图形
;
(3)把△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到,画出
,并写出点
的坐标.
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【题目】某种流感病毒,有一人患了这种流感,在每轮传染中一人将平均传给x人:
(1)第一轮后患病的人数为 ;(用含x的代数式表示)
(2)在进入第二轮传染之前,有两位患者被及时隔离并治愈,问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生,请说明理由.
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【题目】我们把函数y1=x2-3x+2(x>0)沿y轴翻折得到函数y2,函数y1与函数y2的图象合起来组成函数y3的图象.若直线y=kx+2与函数y3的图象刚好有两个交点,则满足条件的k的值为______.
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【题目】已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.
(1)如图1,当a=4时,求b的值;
(2)当a=4时,如图2,求出b的值;
(3)如图3,请写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式,并说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2,3)、B(﹣6,0)、C(﹣1,0).
(1)画出△ABC关于原点成中心对称的三角形△A′B′C′;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°,画出图形,直接写出点B的对应点B″的坐标;
(3)请直接写出:以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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