Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．

如图：

当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，

当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，

∴P1P2∥CE且P1P2=CE，

当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF，

∴点P的运动轨迹是线段P1P2，

∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，

∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，

∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2，

∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，

∴∠DP2P1=90°，

∴∠DP1P2=45°，

∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，

∴BP的最小值为BP1的长，

在等腰直角△BCP1中，CP1=BC=2

∴BP1=2，

∴PB的最小值是2.

故答案为：2．