【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠CAB=90°,点A,点B的坐标分别为A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0,AC与x轴交于点D.
(1)求△AOB的面积;
(2)求证:点D为AC的中点;
(3)点E为x轴的负半轴上的动点,分别以OA,AE为直角边在第一、二象限作等腰直角三角形△OAN和等腰直角三角形△EAM,连接MN交y轴于点P,试探究线段OE与AP的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)4;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)a2+b2﹣4a﹣8b+20=(a﹣2)2+(b﹣4)2=0,即可求解;
(2)由∠ABO=∠DAO,用解直角三角形的方法即可求解;
(3)证明△AHM≌△EOA(AAS)和△MPH≌△NPA(AAS),即可求解.
解:(1)a2+b2﹣4a﹣8b+20=(a﹣2)2+(b﹣4)2=0,
则:a=2,b=4,
S△AOB=OAOB=4;
(2)∠OAB+∠OBA=90°,∠OAB+∠DAO=90°,
∴∠ABO=∠DAO,
OA=2,OB=4,则:AB=,cos∠ABO==,
AD===AB=AC,
即:点D为AC的中点;
(3)过点M作MH⊥y轴交于点H,
∵∠MAH+∠EAO=90°,∠MAH+∠HMA=90°,
∴∠HMA=∠EAO,
又∠MHA=∠AOE=90°,AE=AM,
∴△AHM≌△EOA(AAS),
∴AH=OE,MH=OA=AN,
又∠MHA=∠NAP=90°,∠MPH=∠APN,
∴△MPH≌△NPA(AAS),
∴AP=PH=AH=OE.
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【题目】有下列说法:
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
②若(t﹣4)2-3t=1,则t可以取的值有3个;
③多项式乘以单项式,积的次数等于多项式的次数与单项式次数的积
④关于x,y的方程组,将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加,得到一个新的方程,其中当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程总有一个公共解,则这个公共解是 ,其中错误的是( )
A. ②③④B. ①③④C. ②③D. ①②③
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【题目】小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客,当她骑了一段路时,想起要买个礼物送给表弟,于是又折回到刚经过的一家商店,买好礼物后又继续骑车去舅舅家,以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图.根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)小红家到舅舅家的路程是______米,小红在商店停留了______分钟;
(2)在整个去舅舅家的途中哪个时间段小红骑车速度最快,最快的速度是多少米/分
(3)本次去舅舅家的行程中,小红一共行驶了多少米?一共用了多少分钟?
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【题目】某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x﹣0.4)(元)成反比例,又当x=0.65时,y=0.8.根据y与x之间的函数关系式,请你预算,如果每度电的成本价为0.3元,电价调至0.6元时,本年度电力部门的纯收入是_____亿元.
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【题目】如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试说明DE∥BC.下面是部分推导过程,请你在括号内填上推导依据或内容:
证明:∵∠1+∠2=180°(已知)
∠1=∠4 ( )
∴∠2+∠4=180°(等量代换)
∵EH∥AB( )
∴∠B= ( )
∵∠3=∠B(已知)
∴∠3=∠EHC(等量代换)
∴DE∥BC ( )
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