Question

6．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
所以：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{9×10}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{9}-\frac{1}{10}）$　
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$
=$\frac{9}{10}$
问题：
（1）按照以上式子得出的规律，可以得出$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$；从而进一步猜想得到：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
（2）模仿以上方法计算：①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2015×2016}$；②$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{49×51}$．

Answer 1

分析 （1）根据给出的例子找出规律即可；
（2）①根据给出的例子列出式子进行计算即可；
②由$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）…，找出规律进行计算即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，
∴$\frac{1}{2015×2016}$=$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）①$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2015×2016}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$；

②$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{49×51}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{49}$-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{51}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{50}{51}$
=$\frac{25}{51}$．

点评 本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键．