Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

（1）求证：CA是⊙O的切线．

（2）在AB上取一点E，若∠BCE＝∠B，AB＝2AC，求tan∠ACE的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据圆周角定理可知∠ADB＝90°，再根据∠DAC＝∠B和等量代换可知∠BAC＝90°，从而可证CA是⊙O的切线；

（2）将⊙O的半径为r，EC＝x，在Rt△AEC中，通过勾股定理找到x与r之间的关系，从而表示出AE,AC,利用即可求解.

（1）证明：∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠B+∠BAD＝90°，

∵∠DAC＝∠B，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径为r，EC＝x，

∵AB＝2AC，

∴AC＝r，

∵∠BCE＝∠B，

∴EB＝EC＝x，

∴AE＝2r﹣x

在Rt△AEC中，EC2＝AE2+AC2，

即x2＝（2r﹣x）2+r2，

解得