Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2．则∠BCD= °，cos∠MCN= ．

Answer 1

【答案】120 ；

【解析】

试题分析：∵在四边形ABCD中， AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°， ∴∠BCD=360°-90°-90°-60°=120°；

连接MN，连接AC，

∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，∵∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，

∵在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=，

在Rt△BMC中，CM==，

过M点作ME⊥ON于E，设NE=x，则CE=-x，

∴MN2-NE2=MC2-EC2，即4-x2=（）2-（-x）2，

解得：x=，∴EC=-=，∴cos∠MCN=．