Question

【题目】在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；

（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．

①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；

③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）PE=PF；（2）①成立；②；③PE=2PF，PE=（m﹣1）PF．

【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质和角平分线的性质解答即可；

（2）①由正方形的性质和旋转的性质证明△FOA≌△EOD，即可得到答案；

②作OG⊥AB于G，由余弦的概念求出OF的长，由勾股定理求值即可；

③过点P作HP⊥BD交AB于点H，由相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系，由解答结果总结规律得到当BD=mBP时，PE与PF的数量关系．

试题解析：（1）PE=PF，理由：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，∴PE=PF；

（2）①成立，理由：∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，∴∠DOE+∠AOE=90°，∵∠MPN=90°，∴∠FOA+∠AOE=90°，∴∠FOA=∠DOE，在△FOA和△EOD中，∵∠FAO=∠FDO，OA=OD，∠FOA=∠DOE，∴△FOA≌△EOD，∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，∵∠DOM=15°，∴∠AOF=15°，则∠FOG=30°，∵cos∠FOG=，∴OF==，又OE=OF，∴EF=；

③PE=2PF，如图3，过点P作HP⊥BD交AB于点H，则△HPB为等腰直角三角形，∠HPD=90°，∴HP=BP，∵BD=3BP，∴PD=2BP，∴PD=2 HP，又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，∴∠HPF=∠DPE，又∵∠BHP=∠EDP=45°，∴△PHF∽△PDE，∴，即PE=2PF，由此规律可知，当BD=mBP时，PE=（m﹣1）PF．