Question

【题目】如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．

（1）求证：∠BAD=∠CAE；

（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．

【解析】

（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．

（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．

（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．

（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．

当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．

∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°

∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．