Question

11．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）第一象限内是否存在一点M，使△ABM是等腰直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点B作平行于x轴的直线k，取AB的中点E，过点E的正比例函数图象与直线k交于点F，在直线k上找点Q，∠QEO=3∠BQE，求QF的长度．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为y=kx+b（k≠0），将A、B两点的坐标分别代入该解析式列出关于k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）需要分类讨论：当AB为底和当AB为腰时，分别求得点M的坐标；
（3）根据外角的性质，要使∠QEO=3∠BQE，则∠BFE=2∠BQE，根据直角三角形斜边中线的性质得出OE=AE，根据等边对等角得出∠EOA=∠EAO，然后根据平行线的性质即可得出∠EFB=∠EBF，从而得出∠EBF=2∠BQE，进而求得∠BQE=∠BEQ，根据等角对等边求得BQ=BE，根据勾股定理求得AB的长，根据三角形相似求得BF的长，进而即可求得QF的长度．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（2，0），B（0，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$．
则直线AB的解析式为y=-2x+4；                     
（2）分三种情况：
①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MNB=∠BOA}\\{∠NMB=∠ABO}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ）；
②如图2

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2）；
③如图3，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x），
由勾股定理得，
（x-2）²+x²=（4-x）²+x²，
解得，x=3；
∴M点的坐标为（3，3）
综上所知M点的坐标为（4，6）（6，2）（3，3）；
（3）如图4，

∵∠QEO=∠BQE+∠BFE，
∴要使∠QEO=3∠BQE，则∠BFE=2∠BQE，
∵E是AB的中点，
∴OE=AE，
∴∠EOA=∠EAO，
∵直线k∥x轴，
∴∠EFB=∠EOA，∠EBF=∠EAO，
∴∠EFB=∠EBF，
∴∠EBF=2∠BQE，
∴∠BQE=∠BEQ，
∴BQ=BE，
∵OA=2，OB=4，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BQ=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∵BF∥OA，
∴△BEF∽△AEO，
∴$\frac{BF}{OA}$=$\frac{BE}{AE}$=1，
∴BF=OA=2，
∴QF=BQ+BF=$\sqrt{5}$+2或$\sqrt{5}$-2．

点评 本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．