Question

如图，在?ABCD中，点E为BC上一点，F为DE上一点，DA=DE，EB=EF，求证：
（1）△ABE≌△AFE；
（2）∠FAD=∠CDE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到∠DAE=∠AEB，然后结合等腰△ADE的性质推知∠DAE=∠AEF，则∠AEB=∠AEF．然后结合这两个三角形中的相关线段对应相等，可以证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的性质和平行四边形对角相等的性质，结合三角形外角定理证得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB．
又∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AEF，则∠AEB=∠AEF．
在△ABE与△AFE中，

EB=EF ∠AEB=∠AEF AE=AE

，
∴△ABE≌△AFE（SAS）；

（2）由（1）知△ABE≌△AFE，则∠ABE=∠AFE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B．
由∵∠AFE=∠DAF+∠ADF，∠ADC=∠CDE+∠ADF，
∴∠FAD+∠ADF=∠CDE+∠ADF，
∴∠FAD=∠CDE．

点评：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．