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    如图①，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

    （1）求证：EG=CG；
    （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图②，取DF中点G，连接EG，CG．问EG和CG相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
    （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？（请直接写出答案）
    考点：四边形综合题
    专题：
    分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
    （2）延长EF交CD于点H．在正方形ABCD中，由角的关系可得BE=FE．从而得出四边形EBCH是矩形，易证△EFG≌△CHG，即可得出EG=CG；
    （3）过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，易得△MEC是等腰直角三角形，即可得出EG=CG，EG⊥CG．
    解答：证明：（1）∵在正方形ABCD中，

    ∴∠BCD=90°．
    ∵EF⊥BD，
    ∴∠FED=90°．
    ∵G为DF中点，
    ∴EG=
    1
    2
    DF，CG=
    1
    2
    DF．
    ∴EG=CG．
    （2）答：EG=CG．
    证明：延长EF交CD于点H．

    ∵在正方形ABCD中，
    ∴∠ABC=90°，BD平分∠ABC．
    ∴∠EBF=
    1
    2
    ∠ABC=45°．
    ∵EF⊥AB，
    ∴∠FEB=90°．
    ∴∠EFB=90°-∠EBF=45°．
    ∴∠EBF=∠EFB．
    ∴BE=FE．
    ∵∠BCD=∠ABC=∠BEF=90°，
    ∴四边形EBCH是矩形．
    ∴HC=EB=EF，∠FHC=90°．
    ∴∠FHD=180°-∠FHC=90°．
    ∵CD∥EB，
    ∴∠HDF=∠EBF=45°．
    ∴∠DFH=90°-∠HDF=45°．
    ∴∠HDF=∠DFH．
    ∴HD=FH．
    ∵G为DF中点，
    ∴∠DHG=
    1
    2
    ∠DHF=45°．
    ∴∠GHC=180°-∠DHG=135°．
    ∵∠EFG=180°-∠DFH=135°．
    ∴∠GHC=∠EFG．
    ∵在Rt△DHF中，G为DF中点，
    ∴GH=
    1
    2
    DF=GF．
    ∴△EFG≌△CHG．
    ∴EG=CG．
    （3）EG=CG，EG⊥CG．
    如图3，理由如下：

    过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
    ∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
    又∵BE=EF，
    ∴∠EBF=∠EFB，
    ∴∠EFM=180°-45°-∠BFH=135°-∠BFH，
    ∠EBC=∠EBF+∠EBH=45°+90°-∠BFH=135°-∠BFH，
    ∴∠EFM=∠EBC，
    ∴△EFM≌△EBC，
    ∴∠FEM=∠BEC，EM=EC
    ∵∠FEC+∠BEC=90°，
    ∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
    ∴△MEC是等腰直角三角形，
    ∵G为CM中点，
    ∴EG=CG，EG⊥CG．
    点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．
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    1
    2
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    1
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