Question

设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当时，有，所以说函数是闭区间[1,3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1,2016]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若二次函数y=是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k的值；

（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含

     m，n的代数式表示）．

 

Answer 1

 解：（1）反比例函数y=是闭区间[1,2016]上的“闭函数”．1分

    理由如下：

    反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，

    当x=1时，y=2016；…………………………………2分

    当x=2016时，y=1，

    即图象过点（1,2016）和（2016,1）

    ∴当1≤x≤2016时，有1≤y≤2016，符合闭函数的定义，

   ∴反比例函数y=是闭区间[1，2016]上的“闭函数”；………3分

（2）由于二次函数的图象开口向上，

     对称轴为，…………………………………………4分

     ∴二次函数在闭区间[1,2]内，y随x的增大而增大．

       当x=1时，y=1，

     ∴k=．

       当x=2时，y=2，

     ∴k=．

       即图象过点（1,1）和（2,2）

     ∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，

     ∴k=．…………………………………………………5分

（3）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，

根据一次函数的图象与性质，有：

（Ⅰ）当时，即图象过点（m,m）和（n,n）

，……………………………………………6分

解得．

∴…………………………………………………7分

（Ⅱ）当时，即图象过点（m,n）和（n,m）

，解得

∴，…………………………………8分

∴一次函数的表达式为或．