Question

11．已知：如图，直线AB分别交两坐标轴于A、B两点，A（a，0），B（0，b），且满足$\sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}$+a²b²+4ab+4=0．

（1）判断△AOB的形状，并证明；
（2）如图1，作OC⊥AB于C，直线AD交OC于D，交y轴于N，过点B作BM⊥AD于M，若OD=ON，求$\frac{AN}{BM}$；
（3）点E与点B关于x轴对称，点P为射线OE上一点（不包含O、E两点），连接AP，过点B作BH⊥AP于H交x轴于Q，当P点运动时，$\frac{PE}{AQ}$的值是否变化？若不变，求其值，若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据$\sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}$+a²b²+4ab+4=0，求出a、b的值各是多少；然后判断出OA=OB，即可判断出△AOB是等腰直角三角形．
（2）首先根据三角形相似的判定方法，判断出△AOD∽△ABN，即可推得$\frac{ON}{BN}=\frac{AO}{AB}$，据此求出ON、BN、AN的值各是多少；然后根据三角形相似的判定方法，判断出△AON∽△BMN，即可判断出$\frac{AN}{BN}=\frac{AO}{BM}$，据此求出$\frac{AN}{BM}$的值是多少即可．
（3）当P点运动时，$\frac{PE}{AQ}$的值不变化．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△OAP≌△OBQ，即可判断出OP=OQ；然后根据点E与点B关于x轴对称，可得OE=OB，进一步推得PE=AQ，即可判断出当P点运动时，$\frac{PE}{AQ}$≡1，据此解答即可．

解答 解：（1）∵$\sqrt{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}$+a²b²+4ab+4=0，
∴（a+b）+（ab+2）²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0}\\{ab+2=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{2}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，
又∵OA⊥OB，
∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）如图1，，
∵OA=OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=2，
∵OD=0N，
∴∠ODN=∠OND，
∴∠ADO=∠ANB，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOD=45°，
又∵∠ABN=45°，
∴∠AOD=∠ABN，
在△AOD和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠ANB}\\{∠AOD=∠ABN}\end{array}\right.$
∴△AOD∽△ABN，
∴$\frac{OD}{BN}=\frac{AO}{AB}$，
又∵OD=0N，
∴$\frac{ON}{BN}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{ON}{\sqrt{2}-ON}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得ON=2-$\sqrt{2}$，
∴$BN=OB-ON=\sqrt{2}-（2-\sqrt{2}）=2$$\sqrt{2}$-2，
∴AN=$\sqrt{{OA}^{2}{+ON}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{+（2-\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{2}}$．
∵BM⊥AM，
∴∠BMN=90°，
在△AON和△BMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AON=∠BMN=90°}\\{∠ANO=∠BNM}\end{array}\right.$
∴△AON∽△BMN，
∴$\frac{AN}{BN}=\frac{AO}{BM}$，
∴BM=$\frac{AO•BN}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}×（2\sqrt{2}-2）}{AN}=\frac{4-2\sqrt{2}}{AN}$，
∴$\frac{AN}{BM}$=$\frac{{AN}^{2}}{4-2\sqrt{2}}$=$\frac{8-4\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$=2．

（3）当P点运动时，$\frac{PE}{AQ}$的值不变化．
如图2，，
∵BH⊥AP，
∴∠BHP=90°，∠HBP+∠HPB=90°，
又∵∠OAP+∠HPB=90°，
∴∠OAP=∠HBP，
∴∠OAP=∠OBQ，
在△OAP和△OBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAP=∠OBQ}\\{AO=BO}\\{∠AOP=∠BOQ=90°}\end{array}\right.$
∴△OAP≌△OBQ，
∴OP=OQ，
∵点E与点B关于x轴对称，
∴OE=OB，
∴PE=OE-OP=OB-OP=OA-OQ=AQ，
∴$\frac{PE}{AQ}$=1，
即当P点运动时，$\frac{PE}{AQ}$的值不变化，恒为1．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．