Question

3．如图，等边△ABC内接于圆O，P是劣弧AB上任意一点，连接PA，PB，PC，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．
（1）求证：△ADP∽△CAP；
（2）求证：PC=PA+PB；
（3）若DP=3，AD=7，求△ABC的边长．

Answer 1

分析 （1）作⊙O的直径AE，连接EP．由圆周角定理可知∠APE=90°，∠E=∠2，由切线的性质可知∠1+∠EAP=90°，从而可证明∠1=∠2，然后由等边三角形的性质和圆内接四边形的性质可证明∠DPA=∠APC；
（2）在PC上截取PF=PB，连接BF．证明△ABP≌△CBF，得到AP=CF，从而可证明PC=PA+PB；
（3）设△ABC的边长为x．先证明△ADP∽△BDA，△BDA∽△CAP，从而得到$PC=\frac{1}{3}{x}^{2}$，然后由PC=PA+PB列方程求解即可．

解答 证明：（1）作⊙O的直径AE，连接EP．

∵AE是⊙O的直径，
∴∠APE=90°，
∵∠E=∠2，
∴∠E+∠EAP=∠2+∠EAP=90°
∵AD是⊙O切线，
∴∠1+∠EAP=90°．
∴∠1=∠2．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°．
∵四边形APBC为圆内接四边形，
∴∠DPA=∠ACB=60°．
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°．
∴∠DPA=∠APC．
∴△ADP∽△CAP．
（2）在PC上截取PF=PB，连接BF．

∵∠BPC=∠BAC=60°，PB=PF，
∴△BFP是等边三角形．
∴∠ABP+∠ABF=∠CBF+∠ABF．
∴∠ABP=∠CBF．
在△ABP和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBA=∠FBC}\\{∠3=∠4}\\{PB=FB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBF．
∴AP=CF．
∴PC=CF+PF=PA+PB．
（3）设△ABC的边长为x．
∵∠1=∠2=∠ABD，∠D=∠D，
∴△ADP∽△BDA．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{PD}{AD}=\frac{AP}{BA}$．
∴△BDA∽△CAP．
∴$\frac{BD}{CA}=\frac{AB}{PC}$．
∴$PC=\frac{1}{3}{x}^{2}$．
∵PC=PA+PB，
∴$\frac{1}{3}{x}^{2}=\frac{3}{7}x+\frac{40}{3}$．
解得：x₁=7，${x}_{2}=-\frac{40}{7}$（舍去）．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，能够利用圆周角定理和圆内接四边形的性质进行角的转化是解答本题的关键．