Question

19．若m为整数，关于x的方程x²-mx+$\frac{1}{2}$m+1=0的根是有理数，求m．

Answer 1

分析 首先利用根的判别式得出△=m²-2m-4，再进一步利用完全平方数的性质探讨得出答案即可．

解答 解：△=m²-2m-4，
∵根为有理数，
∴△必为完全平方数，
也可根据x=$\frac{m±\sqrt{△}}{2×1}$，
则没m²-2m-4=k²（k≥0）
 m²-2m-4-k²=0
 m²-2m+1-k²=5
 （m-1）²-k²=5
（m-1+k）（m-1-k）=5
∵m，k为整数，且k≥0，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-1+k=1}\\{m-1-k=5}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{m-1+k=5}\\{m-1-k=1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{k=-2（不合题意）}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{k=2}\end{array}\right.$
∴m=4时，根为有理数．

点评 此题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．