Question

如图是二次函数y=x²+bx+c的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据a=1设出抛物线顶点式解析式，然后令y=0解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）求出△PAB的面积，再求出点P的纵坐标，然后代入抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）由已知得，抛物线解析式y=（x-1）²-4，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点A（-1，0），B（3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（3，0），M（-1，-4），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，点M到AB的距离为4，
∴S_△MAB=

1

2

×4×4=8，
∵S_△PAB=

5

4

S_△MAB，
∴S_△PAB=

5

4

×8=10，
∵AB=4，
∴y_P=5，
令y=5，则（x-1）²-4=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
∴点P（-2，5）或P（4，5）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点问题的求解，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（1）写出顶点式解析式求解更简便，（2）难点在于先求出点P的纵坐标．