Question

如图，已知等腰直角△ABC和等腰直角△ADE有公共直角顶点，P是△ADE内一点，PB=PD，PC=PE，求∠BPC+∠DPE的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：连接DC，交BE于Z，交AE于O，先证明△ADC≌△AEB，得到∠3=∠AEB，求出∠AEB+∠COE=90°求出∠BZO=90°证明△DCP≌△BEP，得到∠1=∠2，求出∠BPD=90°，同理∠CPE=90°，即可得出答案．

解答：解：连接DC，交BE于Z，交AE于O，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△EAB中，

AD=AE ∠DAC=∠BAE AC=AB

，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠3=∠AEB，
∵∠DAE=90°，
∴∠3+∠AOD=90°，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠AEB+∠COE=90°，
∴∠OZE=180°-90°=90°，
∵△DAC≌△EAB，
∴DC=BE，
在△DCP和△BEP中，

PD=PB DC=BE PC=PE

，
∴△DCP≌△BEP（SSS），
∴∠1=∠2，
∵∠DOP=∠BOC，∠1+∠DOP+∠DPO=180°，∠2+∠BOC+∠BZO=180°，
∴∠BZO=∠DPB，
∵∠BZO=90°，
∴∠DPO=90°，
同理∠CPE=90°，
∴∠BPC+∠DPE=90°+90°=180°．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的定义，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度偏大．