Question

AB是圆O的直径，C是圆上一点，CD⊥AB于点D，CE、BE是圆O的切线，点C、B是切点，连接AE，交CD于点P，求证：PC=PD．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：过点A作⊙O的切线交EC的延长线于H，如图，根据切线的性质得AH⊥AB，EB⊥AB，易得AH∥CD∥BE，利用平行线分线段成比例定理得到

AD

AB

=

HC

HE

，再证明△ECP∽△EHA得到PC=

EC•AH

EH

，证明△ADP∽△ABE，得到

PD

BE

=

AD

AB

，代换后得

PD

BE

=

HC

HE

，则PD=

BE•HC

EH

，然后根据切线长定理得到HA=HC，EC=EB，所以PC=PD．

解答：证明：过点A作⊙O的切线交EC的延长线于H，如图，
∵AH、BE为⊙O的切线，
∴AH⊥AB，EB⊥AB，
而CD⊥AB，
∴AH∥CD∥BE，
∴

AD

AB

=

HC

HE

，
∵PC∥AH，
∴△ECP∽△EHA，
∴

PC

AH

=

EC

EH

，即PC=

EC•AH

EH

，
∵PD∥BE，
∴△ADP∽△ABE，
∴

PD

BE

=

AD

AB

，
∴

PD

BE

=

HC

HE

，即PD=

BE•HC

EH

，
∵EH、EB、HA为⊙O的切线，
∴HA=HC，EC=EB，
∴PC=PD．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．