Question

12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线PC交AB的延长线于点P，过点A作AD⊥PC于点D，连接AC，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=2$\sqrt{2}$，求圆的直径及线段CE的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA，由切线的性质和已知条件得出OC∥AD，得出∠CAD=∠OCA=∠OAC即可．
（2）连接AE，由圆周角定理得出$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，得出$AE=BE=2\sqrt{2}$，由圆周角定理得出∠ACB=∠AEB=90°，由三角函数得出$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，设AC=4x，则BC=3x，由勾股定理得出AB=4，AC=$\frac{16}{5}$，由角平分线的性质得出AF的长，证出△BCE∽△FCA，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE，如图所示：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴$\widehat{AE}=\widehat{BE}$，
∴$AE=BE=2\sqrt{2}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AEB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
设AC=4x，则BC=3x，
$AB=\sqrt{A{E^2}+B{E^2}}=4$，AB=$\sqrt{（3x）^{2}+（4x）^{2}}$=5x，
则5x=4，x=$\frac{4}{5}$，
∴AC=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵CE平分∠ACB，
∴$\frac{AF}{BF}=\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴AF=$\frac{4}{7}$×4=$\frac{16}{7}$，
∵∠E=∠BAC，∠BCE=∠ACE，
∴△BCE∽△FCA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{BE}{AF}$，
即$\frac{CE}{\frac{16}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{16}{7}}$，
解得：CE=$\frac{14\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数，相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用角平分线的性质定理和证明三角形相似才能得出结果．