Question

【题目】如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”．如：所以2，26均为“麻辣数”．注：立方差公式

(1)请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由；

(2)请求出在不超过2016的自然数中，所有的“麻辣数”之和为多少？写出完整的求解过程．

Answer 1

【答案】（1）98是麻辣数；169不是麻辣数；理由见解析；（2）6860．

【解析】

（1）根据相邻两个奇数的立方差，可得答案；

（2）根据相邻两个奇数的立方差，麻辣数的定义，可得答案．

设k为整数，则2k+1、2k-1为两个连续奇数，

设M为“麻辣数”，

则M=（2k+1）3-（2k-1）3

=[(2k+1)-(2k-1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k-1)+(2k-1)2]

=24k2+2；

（1）98是麻辣数，169不是麻辣数，理由如下：

当M=98时，24k2+2=98，

因为k为自然数，所以k=2，

此时2k+1=5，2k-1=3，

即98=53-33，

故98是麻辣数；

当M=169时，即24k2+2=169，

因为24k2+2是偶数，而169是奇数，所以k的值不是整数，

故169不是麻辣数；

（2）令M≤2016，则24k2+2≤2016，

解得k2≤＜84，

故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，

故M的和为24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860．