Question

17．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．  类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2^③，读作“2的圈2次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）^④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把$\underbrace{a÷a÷a÷…÷a}_{n个a}$（a≠0）记作a^?，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2^③=$\frac{1}{2}$，$（-\frac{1}{2}）$^⑤=-$\frac{1}{8}$；
（2）关于除方，下列说法错误的是C
A．任何非零数的圈2次方都等于1；             B．对于任何正整数n，1^?=1；
C.3^④=4^③       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（-3）^④=$\frac{1}{{3}^{2}}$；5^⑥=$\frac{1}{{5}^{4}}$；＜“m“：math xmlns：dsi='http://www．dessci．com/uri/2003/MathML'dsi：zoomscale='150'dsi：_mathzoomed='1'style='CURSOR：pointer； DISPLAY：inline-block'＞（-12）$（-\frac{1}{2}）$^⑩=$\frac{1}{{2}^{8}}$．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于$\frac{1}{{a}^{n-2}}$；
（3）算一算：${12^2}÷{（-\frac{1}{3}）^④}×{（-\frac{1}{2}）^⑤}-{（-\frac{1}{3}）^⑥}÷{3^3}$．

Answer 1

分析 初步探究
（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义可判断C错误；
深入思考
（1）把有理数的除方运算转化为乘方运算进行计算；
（2）利用新定义求解；
（3）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．

解答 解：初步探究
（1）2^③=$\frac{1}{2}$，$（-\frac{1}{2}）$^⑤=-$\frac{1}{8}$；
（2）C选项错误；
深入思考
（1）（-3）^④=$\frac{1}{{3}^{2}}$；5^⑥=$\frac{1}{{5}^{4}}$；$（-\frac{1}{2}）$^⑩=$\frac{1}{{2}^{8}}$．
（2）a^?=$\frac{1}{{a}^{n-2}}$；
（3）原式=12²÷3²×（-2³）-34÷33
=-131．
故答案为$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{8}$，C，$\frac{1}{{3}^{2}}$，$\frac{1}{{5}^{4}}$，$\frac{1}{{2}^{8}}$，$\frac{1}{{a}^{n-2}}$．

点评 本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．