【题目】已知:在△ABC中,BC>AC,动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转,且AD=BC,连接DC.过AB,DC的中点E,F作直线,直线EF与直线AD,BC分别相交于点M,N.
(1)如图1,当点D旋转到BC的延长线上时,点N恰好与点F重合,取AC的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质,可得∠AMF与∠ENB有何数量关系?(不需证明).
(2)当点D旋转到图2或图3中的位置时,∠AMF与∠ENB有何数量关系?请分别写出猜想,并任选一种情况证明.
【答案】(1)∠AMF=∠ENB;(2)∠AMF=∠ENB,∠AMF+∠ENB=180°,证明见解析.
【解析】
(1) 取AC的中点H,连接HE、HF,当点D旋转到图2中的位置时,由F为DC的中点,E为AB的中点,根据三角形中位线的性质得到FH∥AD,且FH=AD;HE∥BC,且HE=BC,得到∠HFE=∠AMF,∠HEF=∠ENB,HE=HF,则∠HEF=∠HFE,所以∠AMF=∠BNE;当点D旋转到图3中的位置时,同理可证得∠AMF=∠BNE.
(2) 与(1)相同,都需要作出两条辅助线,两次运用中位线定理解答.
(1)图1:∠AMF=∠ENB.
(2)图2:∠AMF=∠ENB;
图3:∠AMF+∠ENB=180°.
当点D旋转到图2中的位置时,
证明:如图,取AC的中点H,
连接HE,HF.
∵F是DC的中点,H是AC的中点,
∴HF∥AD,HF=AD,
∴∠AMF=∠HFE,
同理,HE∥CB,HE=CB,∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC,∴HF=HE,∴∠HEF=∠HFE,
∴∠ENB=∠AMF.
当点D旋转到图3中的位置时,
用同样的方法可证明∠HFE=∠AME,∠HEF=∠BNE,
而∠HFE=∠HEF,
∴∠AME=∠BNE,
而∠AMF+∠AME=180°,
∴∠AMF+∠BNE=180°.
故答案为:∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°.
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【题目】如图所示,点C是线段AB上的一点,点D是线段AB的中点,点E是线段BC的中点.
(1)当AC=8,BC=6时,求线段DE的长度;
(2)当AC=m,BC=n(m>n)时,求线段DE的长度;
(3)从(1)(2)的结果中,你发现了什么规律?请直接写出来.
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【题目】数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
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【题目】在某市举办的“读好书,讲礼仪”活动中,东华学校积极行动,各班图书角的新书、好书不断增多,除学校购买外,还有师生捐献的图书.下面是七年级(1)班全体同学捐献图书的情况统计图:
请你根据以上统计图中的信息,解答下列问题:
(1)该班有学生多少人?
(2)补全条形统计图;
(3)七(1)班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少?
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【题目】如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB=( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)填空:①当AM的值为 时,四边形AMDN是矩形;②当AM的值为 时,四边形AMDN是菱形。
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【题目】如图,将边为的正方形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转30°后得到正方形AEFH,则图中阴影部分的面积为( )
A. - B. 3- C. 2- D. 2-
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