Question

3．如图，已知⊙O的半径为1，线段AB=4，⊙O从A端开始沿着线段滚向B端，设⊙O与AB切于点P，当P与A、B不重合时，分别过A，B两点作与⊙O相切（切点为E，F），但不与AB重合的两条射线．
问：（1）当∠EAB=90°时，AP有多长？（直接写出答案）
（2）当AE与BF相交于点C且∠ACB=60°，求△ABC的周长；
（3）当AE∥BF时，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OP，OE，由AB，AE与⊙O相切，得到∠OEA=∠OPA=90°，推出四边形APOE是正方形，根据正方形的性质得到AP=OE=1；
（2）如图2，连接EF，则CE=CF，由∠ACB=60°，得到△CEF是等腰三角形，连接OE，OF．过O作OG⊥EF于G，由∠CEO=∠CFO=90°，得到∠EOF=120°，于是得到∠OFE=∠OEF=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论$\sqrt{3}$；
（3）如图（3）连接OE，OF，于是得到OE⊥AE，OF⊥BF，根据平行线的性质得到点E，O，F共线，过B作BH⊥AE，得到BH=EF=2，根据勾股定理得到AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，设BF=EH=x，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OP，OE，
∵AB，AE与⊙O相切，
∴∠OEA=∠OPA=90°，
∵∠EAP=90°，OE=OP，
∴四边形APOE是正方形，
∴AP=OE=1；

（2）如图2，连接EF，则CE=CF，
∵∠ACB=60°，
∴△CEF是等腰三角形，
连接OE，OF．过O作OG⊥EF于G，
∵∠CEO=∠CFO=90°，
∴∠EOF=120°，
∴∠OFE=∠OEF=30°，
∴OG=$\frac{1}{2}$，EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$EF=2EG=\sqrt{3}$，
∴CE=CF=$\sqrt{3}$，
∵AP=AE，PB=BF，
∴AE+BF=AB=4，
∴△ABC的周长=4+4+2$\sqrt{3}$=8+2$\sqrt{3}$；

（3）如图（3）连接OE，OF，则OE⊥AE，OF⊥BF，
∵AE∥BF，
∴OE⊥BF，
∴点E，O，F共线，
过B作BH⊥AE，
∴BH=EF=2，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
设BF=EH=x，则AP=AE=2$\sqrt{3}$+x，BP=BF=x，
∴2$\sqrt{3}$+x+x=4，
∴x=2-$\sqrt{3}$，
∴AP=4-（2-$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．