Question

【题目】如图（1），已知抛物线E：y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x=1．

（1）填空：a=　 　，b=　 　，c=　 　；

（2）将抛物线E向下平移d个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求d的取值范围；

（3）如图（2），设点P是抛物线E上任意一点，点H在直线x=﹣3上，△PBH能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣1，2，3；（2）d的范围为2≤d≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（）或（）

【解析】

（1）先确定出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；

（2）先求出直线BC解析式，再确定出顶点坐标（1，4），最后根据平移即可得出结论；

（3）分两种情况，利用全等三角形的对应边相等，建立方程求解即可得出结论．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，B（3，0），

∴A（﹣1，0），

∵点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）在抛物线上，

∴

故答案为：﹣1，2，3；

（2）∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

∵a=﹣1，b=2，c=3，

∴抛物线y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线E的顶点坐标为（1，4），

∵对于直线y=﹣x+3，

当x=1时，y=2，

∵抛物线E向下平移d个单位，

∴当d=2时，抛物线的顶点落在BC上，

当d=4时，抛物线的顶点落在OB上，

∴d的范围为2≤d≤4；

（3）设P（m，﹣m2+2m+3），H（﹣3，n），

①当点P在x轴上方时，如图（2），过点P作PE⊥直线x=﹣3于E，过点B作BF⊥EP交EP的延长线于F，

∵B（3，0），△PBH是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠BPH=90°，BP=PH，

∴∠EPH=∠FBP，

∴△PHE≌△BPE，

∴PE=BF，

∵PE=BF=﹣m2+2m+3，PF=3﹣m，且PE=PF=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，

∴m=1或m=0，

∴P（1，4）或（0，3）；

②当点P在x轴下方时，如图（1），

过点P作PG⊥直线x=﹣3于G，过点B作BK⊥GP交GP的延长线于K，

易知，△PHG≌△BPK，

∴PG=BK，

∴PG=6﹣（3﹣m）=m+3，BK=m2﹣2m﹣3，

∴m+3=m2﹣2m﹣3，

∴

∴或.

即：P（1，4）或（0，3）或或