Question

20．已知一元二次方程ax²-$\sqrt{2}$bx+c=0的两个实数根满足|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$，a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a=c，求∠B的度数．

Answer 1

分析 根据x₁、x₂是一元二次方程的两个实数根，得到x₁+x₂=$\frac{\sqrt{2}b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，然后根据a=c，得到x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=1，最后将|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$变形为（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，从而得到b=$\sqrt{3}$a，求得∠B的度数即可．

解答 解：∵x₁、x₂是一元二次方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{\sqrt{2}b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∵a=c，
∴x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=1，
∵|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$，
∴x₁²+x₂²-2x₁•x₂=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，
即：$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4=2，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠B=120°．
答：∠B的度数为120°．

点评 本题考查了一元二次方程的应用及根与系数的关系，能够利用根与系数的关系得到b和a的关系是解答本题的关键，难度不大．