Question

10．如图，将边长为4的正方形ABCD对折后展开，折痕为EF，分别在边AB、BC上取点G、H，沿GH对折，使点B落在折痕EF上，落点记为I，则：
（1）∠GHI角度的范围为0°≤∠GHI≤15°；
（2）线段IE的取值范围为4-2$\sqrt{3}$≤IE≤4．

Answer 1

分析 （1）设BG=IG=x，表示出EG，从BH=0和BH=4两种情况进行计算，得到∠GHI的两个度数，确定∠GHI角度的范围；
（2）根据∠GHI=15°时和∠GHI=0°时，求出IE的值，得到线段IE的取值范围．

解答 解：（1）设BG=IG=x，则EG=2-x，
∵0≤BH≤4，
∴当BH=0时，∠GHI=0°，
当BH=4时，HI=BH=4，
由勾股定理得IF=2$\sqrt{3}$，
IE=EF-IF=4-2$\sqrt{3}$，
∵IG²=EG²+IE²，即x²=（2-x）²+（4-2$\sqrt{3}$）²，
解得，x=8-4$\sqrt{3}$，
∴IG=8-4$\sqrt{3}$，
∴tan∠GHI=$\frac{IG}{IH}$$\frac{8-4\sqrt{3}}{4}$=2-$\sqrt{3}$，
∴∠GHI=15°，
∴0°≤∠GHI≤15°；
（2）∵当∠GHI=15°时，IF=2$\sqrt{3}$，IE=4-2$\sqrt{3}$，
当∠GHI=0°时，IE=EF=4，
∴4-2$\sqrt{3}$≤IE≤4．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，找出翻折变换中对应的线段的线段和角、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．