Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点 P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）点P、Q的坐标分别为：（，）、（，﹣）；（3）存在，点K（1，）．

【解析】

（1）根据对称轴x＝1，求出点B的坐标，再将点B代入抛物线表达式中求出a的值，即可求抛物线的函数表达式；

（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，联立抛物线与直线PQ的表达式可得方程，求解方程即可得出点P，Q的坐标；

（3）设点K（1，m），联立PQ和AC的表达式，即可求出G点的坐标，过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，通过△KMG≌△GNR可得R（m﹣1，），将R点代入抛物线解析式即可求出m的值，求得K的坐标．

（1）对称轴x＝1，则点B（﹣2，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

即﹣8a＝2，

解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝；

（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，

△CPQ的面积＝×CE×（n﹣m）＝，即n﹣m＝2，

联立抛物线与直线PQ的表达式并整理得：…①，

m+n＝2﹣4k，mn＝﹣4，

n﹣m＝2＝＝，

解得：k＝0（舍去）或1；

将k＝1代入①式并解得：x＝，

故点P、Q的坐标分别为：（，）、（，﹣）

（3）设点K（1，m），

联立PQ和AC的表达式并解得：x＝，故点G（，）

过点G作x轴的平行线交函数对称轴于点M，交过点R与y轴的平行线于点N，

则△KMG≌△GNR（AAS），

GM＝1-＝＝NR，MK＝，

故点R的纵坐标为：，则点R（m﹣1，）

将该坐标代入抛物线表达式解得：x＝，

故m＝，

故点K（1，）．