Question

6．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：AC=CE；
（2）若EF⊥AC于点F，请你猜想$\frac{EF}{AC}$与$\frac{\sqrt{2}}{2}$的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义得出∠ACD=∠ECD，由AAS证明△ACD≌△ECD，得出对应边相等即可；
（2由等腰直角三角形的性质得出∠ACB=45°，证明△CEF是等腰直角三角形得出EF=FC，由勾股定理得出EC=$\sqrt{2}$EF，由AC=EC，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°=∠A，
在△ACD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DEC}&{\;}\\{∠ACD=∠ECD}&{\;}\\{CD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ECD（AAS），
∴AC=CE；
（2）解：$\frac{EF}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠DFC=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF=FC，
由勾股定理得：2EF²=EC²，
∴EC=$\sqrt{2}$EF，
即$\frac{EF}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由（1）得：AC=EC，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．