Question

【题目】（猜想）　如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.试猜想线段BG和AE的数量关系是 ；

（探究）　如图2，正方形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）．试判断你猜想的结论是否仍然成立，请利用图2证明你的结论；

（应用）　在图2中，BC＝DE＝4.当AE取最大值时，AF的值为多少？

Answer 1

【答案】【猜想】　BG＝AE；【探究】成立，证明详见解析；【应用】　2.

【解析】

【猜想】

：由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【探究】如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；
【应用】可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

解：【猜想】　如图1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG．
在△BDG和△ADE中，

,

∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE．
故答案为：BG=AE；

【探究】

成立，BG＝AE.理由如下：

如图2，连接AD.

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，

∴AD＝BD，AD⊥BC.

∴∠ADG＋∠GDB＝90°.

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE＝DG，且∠GDE＝90°.

∴∠ADG＋∠ADE＝90°.

∴∠BDG＝∠ADE.

在△BDG和△ADE中，

∴△BDG≌△ADE（SAS）．

∴BG＝AE.

【应用】

∵BG＝AE，

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

如图3，当旋转角为270°时，BG＝AE.

∵BC＝DE＝4，

∴BG＝2＋4＝6.

∴AE＝6.

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF＝＝＝2.