Question

【题目】如图，直线y＝x+6与x轴、y轴交于A、B两点，点C在第四象限，BC⊥AB，且BC＝AB；

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，D是BC的中点，过D作AC的垂线EF交AC于E，交直线AB于F，连接CF，点P为射线AD上一动点，求PF2﹣PC2的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，在第二象限过点A作线段AM⊥AB于点A，在线段AB上取一点N，连接MN，使MN＝BN，在第三象限取一点Q，使∠NMQ＝90°，连接QC，若QC∥AB，且QC＝6AM，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为s，求s与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）C(6，﹣2)；（2）25；（3）

【解析】

（1）过C作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，证明△BHC≌△AOB（AAS）即可解决问题；

（2）如图2中，设射线AD交CF于G．根据“SAS”证明△ABD≌△CBF，利用勾股定理解决问题即可；

（3）如图3中，连接BM，BQ，过B作BK⊥QM延长线于点K，延长MA交QC于点T，可得正方形ABCT．证明△BKM≌△BAM（ASA），推出BA＝BK＝BC，MK＝MA，证明Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），推出QK＝QC，设AM＝a，则QK＝QC＝6a，在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝，由tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝，推出QT＝10，MQ＝，MT＝，作PS⊥MQ于点S，根据，计算即可．

解：（1）如图1中，

在y＝x+6中，令y＝0，得x＝﹣8；令x＝0，得y＝6

∴A(﹣8，0)，B(0，6)，

∴OA＝8，OB＝6，

过C作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，

∵BC⊥AB，

∴∠ABO+∠CBH＝90°，

∴∠BCH＝∠ABO，

又∠BHC＝∠AOB＝90°，BC＝AB，

∴△BHC≌△AOB（AAS），

∴HC＝OB＝6，BH＝OA＝8，OH＝8﹣6＝2，

∴C(6，﹣2)．

（2）如图2中，设射线AD交CF于G．

∵BC⊥AB，BC＝AB，

∴∠BAC＝45°

∵EF⊥AC，

∴∠AFE＝45°

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD＝BF，

又∠ABD＝∠CBF＝90°，AB＝CB

∴△ABD≌△CBF（SAS），

∴∠BAD＝∠BCF，

∵∠BDA＝∠CDG，

∴∠CGD＝∠ABD＝90°，

即AD⊥CF，

∵OA＝8，OB＝6，

∴AB＝＝10，

∴BC＝10，

∴BF＝BD＝5，

∴PF2﹣PC2＝(PG2+FG2)﹣(PG2+CG2)

＝FG2﹣CG2＝(DF2﹣DG2)﹣(DC2﹣DG2)

＝DF2﹣DC2＝DF2﹣BD2＝BF2＝25

（3）如图3中，连接BM，BQ，过B作BK⊥QM延长线于点K，延长MA交QC于点T，可得正方形ABCT．

∵MN＝BN，

∴∠NMB＝∠NBM，

∵BK⊥QK，NM⊥QK，

∴BK∥MN，

∴∠KBM＝∠BMN，

∴∠KBM＝∠MBA，

∵MB＝MB，∠K＝∠BAM＝90°

∴△BKM≌△BAM（ASA），

∴BA＝BK＝BC，MK＝MA，

∴Rt△BKQ≌Rt△BCQ（HL），

∴QK＝QC，

设AM＝a，则QK＝QC＝6a，

在Rt△QMT中，MQ＝5a，MT＝a+10，QT＝6a﹣10，勾股定理可得a＝，

∵tan∠MNA＝tan∠QMT＝tan∠BAO＝，

∴QT＝10，MQ＝，MT＝

∴MN∥x轴，MQ∥y轴，作PS⊥MQ于点S，

∴，

设MQ与x轴交于点I，Rt△MAI中，AI＝2，

作AL⊥PS于点L，得矩形ALSI，

∴PS＝PL+LS＝t+10，

∴，

∴．