Question

3．如图，E、F、G分别是正方形ABCD边AD、DC、AB的中点，BE交AF于H点，则下列结论：①BE=AF；②GH=GA；③CB=CH；④AE=2HE．其中结论正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 由正方形的性质和已知条件证出△ABE≌△DAF，得出BE=AF，①正确；
由全等三角形的性质和角的互余关系得出∠AHB=90°，得出②正确；
证出四边形AGCF是平行四边形，得出AF∥GC，证出BE⊥GC，得出GC是BH的垂直平分线，得出③正确；
由HE与CD不平行，得出④不正确；即可得出结论．

解答 解：①正确；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，∠BAE=∠D=90°，
∵E、F分别是正方形ABCD边AD、DC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$DA，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AE=DF，
在△ABE和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DA}&{\;}\\{∠BAE=∠D}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF；
②正确；理由如下：
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠BAH+∠DAF=90°，
∴∠BAH+∠ABE=90°，
∴∠AHB=90°，
即BE⊥AF，
∵G是AB的中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=GA；
③正确；理由如下：
∵F、G分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，
∴GA=GB=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$CD，
∴AG=CF，
又∵AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形，
∴AF∥GC，
∵BE⊥AF，
∴BE⊥GC，
∵GH=GA，
∴GB=GH，
∴GC是BH的垂直平分线，
∴CB=CH；
④不正确；理由如下：
∵HE与CD不平行，
∴HE≠$\frac{1}{2}$DF，
∴HE≠$\frac{1}{2}$AE；
正确的是①②③，
故选：A．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、线段的垂直平分线的性质；本题综合性强，有一定难度．