Question

16．如图，在一个矩形中，有一个“V”字型的阴影图形，两个平行四边形交叉放在一起，∠1=∠2=30°，则阴影部分的面积S=44$\sqrt{3}$cm²．

Answer 1

分析 由矩形的性质得出∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，BC=AD=16（cm），由ASA证明△ABE≌△DCF，得出BE=CF=6cm，求出AB=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{3}$cm，∠EAH=60°，证明△GOH是等边三角形，得出OG=GH=8cm，作OM⊥GH于M，则GM=4cm，OM=4$\sqrt{3}$cm，阴影部分的面积=矩形ABCD的面积-△ABE的面积-△DCF的面积-△GOH的面积，即可得出结果．

解答 解；如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC，BC=AD=4+8+4=16（cm），
在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE=CF=6cm，
∵∠1=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{3}$cm，∠EAH=60°，
∵AE∥GF，
∴∠HGO=∠EAH=60°，
同理：∠GHO=60°，
∴△GOH是等边三角形，
∴OG=GH=8cm，
作OM⊥GH于M，则GM=4cm，OM=4$\sqrt{3}$cm，
∴阴影部分的面积
=矩形ABCD的面积-△ABE的面积-△DCF的面积-△GOH的面积
=16×6$\sqrt{3}$-2×$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{3}$
=44$\sqrt{3}$（cm²）；
故答案为：44$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；证明三角形全等是解决问题的突破口．