Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知的两条直角边、分别在轴和轴上， 、的长分别是方程的两根，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动；同时，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，设点、运动的时间为秒．

（）求、两点的坐标．

（）当为何值时为直角三角形，此时点的坐标为？

（）当时，在坐标平面内，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（）， ；（）， ；（）有， ； ； ．

【解析】试题分析：

（1）解方程可求得OA、AB的长，再由勾股定理可求得OB的长，从而可得点A、B的坐标；

（2）如图1，根据题意分析可知，存在两种可能性：①∠APQ=90°或②∠AQP=90°由这两种情况分别可证得：△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB，由此可列出比例式求出对应的t的值，进而可求得对应的点Q的坐标；

（3）如图2，由t=2，可求得此时AP和BQ的长，结合题意分析存在三种可能情况，结合（1）、（2）中求得的数据和平行四边形的判定分析就可求得点M的坐标；

试题解析：

（）方程： 可化为： ，解得： ， ，

∴OA=3，AB=6，

∴OB=，

∴， ；

（）如图1，由（1）可知，在Rt△AOB中，OA=3，AB=6，∠AOB=90°，

∴AO=AB，

∴∠ABO=30°，∠BAO=60°.

当 ①，则，由，则此时BQ=3，作Q1N1⊥OB与N1，由∠ABO=30°可得Q1N1=，由勾股定理可得BN1=，

∴ON1=OB-BN1=，

∴点Q1的坐标为；

当②，则，由，同理可得：点Q2的坐标为；

综合①、②可得： ， ；

（）如图2，当t=2时，AP=2，BQ=4，

①过点Q作QM1⊥OB与点M1，由∠ABO=30°，可得QM1=2=AP，

又∵QM1∥AP，

∴此时四边形APM1Q是平行四边形.

在Rt△QM1B中，由勾股定理可得BM1=，

∴OM1=OB-BM1=，

∴点M1的坐标为；

②延长M1Q至点M2，使QM2=QM1=2，连接AM2，则由①可知此时，QM2∥AP且QM2=AP，

∴四边形ABQM2是平行四边形，此时点M2的坐标为 ；

③ 由t=2时，AP=2，BQ=4，可得AQ=AB-BQ=2=AP，

又∵∠BAO=60°，

∴△APQ是等边三角形，则将△APQ沿AP翻折得到△APM3，易证此时四边形AQPM3是平行四边形，而点M3与点Q关于y轴对称，

∵Q的坐标为，

∴点M3的坐标为；

综上所述：存在点M，使以点A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，其坐标分别为：M1、M2、M3.