Question

11．已知：抛物线C₁：y=2x²+bx+6与抛物线C₂关于y轴对称，抛物线C₁与x轴分别交于点A（-3，0），B（m，0），顶点为M．
（1）求b和m的值；
（2）求抛物线C₂的解析式；
（3）在x轴，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，-2t），其中t＞0，当线段PQ与抛物线C₂有且只有一个公共点时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0）代入y=2x²+bx+6，即可求得b的值，从而求得解析式，令y=0，j解方程即可求得m的值；
（2）根据C₁：y=2x²+8x+6=2（x+2）²-2，求得顶点M（-2，-2），即可求得点M关于y轴的对称点N（2，-2），由于a的值不变，根据顶点得出C₂：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6；
（3）根据P、Q的坐标求得直线PQ的解析式，然后分三种情况讨论求得．

解答 解：（1）∵抛物线y=2x²+bx+6过点 A（-3，0），
∴0=18-3b+6，
∴b=8，
∴C₁：y=2x²+8x+6，
令y=0，则2x²+8x+6=0，
解得x₁=-3，x₂=-1
∴m=-1；
（2）∵C₁：y=2x²+8x+6=2（x+2）²-2，
∴M（-2，-2），
∴点M关于y轴的对称点N（2，-2），
∴C₂：y=2（x-2）²-2=2x²-8x+6，
（3）由题意，点A（-3，0）与D，点B（-1，0）与C关于y轴对称，
∴D（3，0），C（1，0），
∵P（t，0），Q（0，-2t），
∴PQ：y=2x-2t，
当PQ过点C时，即P与C重合时，t=1，
当PQ过点D时，即P与D重合时，t=3，
当直线PQ与抛物线C₂有且仅有一个公共点时，即方程2x²-8x+6=2x-2t中△=0，
方程整理得x²-5x+3+t=0，△=25-4（3+t）=0，
解得t=$\frac{13}{4}$．
综上，由图得，当1≤t＜3或t=$\frac{13}{4}$时，PQ与抛物线C₂有且仅有一个公共点．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数与几何变换，解一元二次方程，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．