Question

18．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点．
①当∠A=20°时，∠BOC=100°；
②当∠A=40°时，∠BOC=110°；
③当∠A=60°时，∠BOC=120°；
④∠A=n°时，猜测∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$•n°，
并用所学的三角形的有关知识把④进行说明．

Answer 1

分析 运用三角形内角和定理，由∠A可求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义就可求出∠OBC+∠OCB，再运用三角形内角和定理就可求出∠BOC．

解答 解：①当∠A=20°时，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=160°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=100°．
②当∠A=40°时，同理可得∠BOC=110°；
③当∠A=60°时，同理可得∠BOC=120°；
④当∠A=n°时，同理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$•n°．
故答案分别为：①100°；②110°；③120°；④90°+$\frac{1}{2}$•n°．
④的理由：当∠A=n°时，∠ABC+∠ACB=180°-n°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°-$\frac{1}{2}$•n°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$•n°）=90°+$\frac{1}{2}$•n°．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，运用三角形内角和定理，把∠BOC转化为∠A是解决本题的关键．