Question

6．如图，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙O相交于点F．若$\widehat{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，则图中阴影部分的面积为2-$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，则根据弧长公式可得$\frac{45•π•r}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得r=2，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影部分=S_△ACD-S_扇形CAE进行计算即可．

解答 解：连结AC，如图，设半径为r，
∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，
而AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2=45°，
∵$\widehat{EF}$的长为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{45•π•r}{180}$=$\frac{π}{2}$，解得r=2，
在Rt△ACD中，∵∠2=45°，
∴AC=CD=2，
∴S_阴影部分=S_△ACD-S_扇形CAE$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{45•π•{2}^{2}}{360}$=2-$\frac{π}{2}$．
故答案为2-$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式．