Question

3．如图，已知△ABC、△DBC，AC与BD交于点G，过点G作EH∥BC分别交AB、DC、AD的延长线于点H、F、E，求证：EG²=EF•EH．

Answer 1

分析 延长AE，BC交于点K，由于EH∥BC，于是得到△DEF∽△DKC，△DEG∽△DKB，推出$\frac{KB}{KC}=\frac{EG}{EF}$，由于EH∥BC，于是得到△AEG∽△AKC，△AEH∽△AKB，推出$\frac{KB}{KC}=\frac{EH}{EG}$，等量代换得到$\frac{EG}{KC}=\frac{EH}{EG}$，于是得到结论．

解答 解：延长AE，BC交于点K，
∵EH∥BC，
∴△DEF∽△DKC，△DEG∽△DKB，
∴$\frac{EF}{KC}=\frac{DE}{DK}=\frac{EG}{KB}$，
∴$\frac{KB}{KC}=\frac{EG}{EF}$，
∵EH∥BC，
∴△AEG∽△AKC，△AEH∽△AKB，
∴$\frac{EG}{KC}=\frac{AE}{AK}=\frac{EH}{KB}$，
∴$\frac{KB}{KC}=\frac{EH}{EG}$，
∴$\frac{EG}{KC}=\frac{EH}{EG}$，
∴EG²=EF•EH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．