Question

【题目】如图△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，给出下列结论：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤∠BAC=∠BDE．其中正确的是_____ （写序号）

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，判断①正确，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADC=∠ADE，判断②正确；全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出BE+AC=AB，判断④正确；根据同角的余角相等求出∠BAC=∠BDE，判断⑤正确，并得到③错误．

解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴DC=DE，故①正确；

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴∠ADC=∠ADE，AC=AE，

∴DA平分∠CDE，故②正确；

BE+AC=BE+AE=AB，故④正确；

∵∠BAC+∠B=90°，

∠BDE+∠B=90°，

∴∠BAC=∠BDE，故⑤正确；

∵∠ADE+∠BAD=90°，而∠BAD≠∠B，

∴∠BDE≠∠ADE，

∴DE平分∠ADB错误，故③错误；

综上所述，正确的有①②④⑤．

故答案为：①②④⑤．