Question

10．已知如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC的中点，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，连结AE，过A作AF⊥AE交BD于F．
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
（2）连结CF，求证：CF=AC．

Answer 1

分析 （1）先证明∠BAF=∠CAE，再证∠ABF=∠ACE，由ASA证明△ABF≌△ACE，得出AE=AF，即可得出结论；
（2）过点A作AM⊥BD于点M，先证明△AMD≌△CED，得出AM=CE，再证明BM=EF，然后证明△CEF≌△AMB，得出CF=AB，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF=∠CAE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ABF=∠ACE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CAE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠ABF=∠ACE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）证明：过点A作AM⊥BD于点M，如图所示：
则∠AME=90°，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∵D为AC中点，
∴AD=CD
在△AMD和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠CDE}&{\;}\\{∠AMD=∠CED=90°}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CED（AAS），
∴AM=CE，
∵△AEF为等腰直角三角形，AM⊥BD，
∴AM=MF=ME，
∴AM=MF=ME=CE，EF=2AM，
由（1）知：△ABF≌△ACE，
∴BF=EC，
∴BM=2AM，
∴BM=EF，
在△CEF和△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=AM}&{\;}\\{∠CEB=∠AMD}&{\;}\\{EF=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△AMB（SAS）
∴CF=AB，
∴CF=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．